Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come l'uso della base 10 nel nostro sistema di numerazione sia un accidente dovuto alla storia e alla nostra biologia. Un'altra cosa che spesso diamo per scontata, ma che venne invece "inventata" abbastanza tardi è lo zero. In effetti per i popoli antichi lo zero non era un numero, ma indicava semplicemente l'assenza di qualcosa. Se ci pensiamo un attimo, nessuno conta partendo da zero, ma tutti cominciano con il numero uno. In effetti gli antichi egizi e i popoli mesopotamici avevano una parola e un segno per lo zero, ma lo usavano solo per indicare la mancanza di qualcosa, non come un numero (cioè, per intenderci, come qualcosa che si può addizionare e sottrarre). Ugualmente gli antichi greci e i romani non avevano nessun numero per indicare lo zero.

Lo zero (inteso come cifra numerica) compare per la prima volta in India intorno al quinto secolo dopo Cristo e da qui, attraverso gli Arabi, si diffuse nel resto del mondo e arrivò fino in Europa.

La cifra zero diventa importante per costruire la cosiddetta notazione posizionale, introdotta per la prima volta in Europa dal matematico fiorentino Leonardo Fibonacci (1170 – c. 1250), ma usata in precedenza dagli Arabi.

Quando scriviamo un numero, la posizione di una cifra all'interno del numero ne stabilisce il valore (da qui il nome posizionale). Così per esempio nel numero 5605 il primo cinque vale 5000 mentre l'ultimo vale solo 5: il valore è determinato dalla posizione della cifra; le cifre più a sinistra pesano di più di quelle più a destra. Ogni cifra pesa 10 volte di più di quella immediatamente precedente (si tratta di un sistema di numerazione detto appunto in base 10).

Si noti come ogni cifra abbia un peso crescente da sinistra a destra e i pesi si possono esprimere con le potenze di dieci (10⁰ = 1 è il peso della prima cifra, 10¹ = 10 il peso della seconda, 10² = 100 quello della terza e così via).

L'uso dello zero è fondamentale per la notazione posizionale, in quanto permette di scrivere l'assenza di un certa potenza di 10 (come per esempio in 5605 non ci sono decine).

La notazione posizionale fu una scoperta fondamentale per la matematica, in quanto semplificò enormemente il calcolo delle operazioni aritmetiche che prima, usando i numeri romani, erano estremamente difficili da fare. Bisogna però osservare subito che la notazione posizionale non è legata alla base 10 (sebbene storicamente sia nata con questa base), ma può invece essere usata con qualsiasi base numerica.

La notazione posizionale e i relativi pesi funzionano anche per i numeri con la virgola. In questo caso i pesi sono le potenze negative di 10 (10^-1 per i decimi, 10^-2 per i centesimi e così via), come mostrato nell'esempio qui sotto:

Possiamo usare la notazione posizionale per interpretare un numero scritto in una base qualsiasi, anche diversa da 10.

Consideriamo per esempio il numero (243)₅ cioè 243 in base 5. Esso può essere scomposto nel seguente modo:

2 x 5² + 4 x 5¹ + 3 x 5⁰ = 2 x 25 + 4 x 5 + 3 x 1 = (73)₁₀

In altre parole 243 in base 5 equivale a 73 scritto in base 10.

 

precedente - successiva

Sito realizzato in base al template offerto da

http://www.graphixmania.it

Segui @ElePrograMania